Narodil se v Kalifornii ale vyrůstal v New Yorku. Jeho rodiči jsou herečka Mary (roz. Bledsoe) a Gilbert Robbins, hudebník. Robbins má dvě sestry – Adele a Gabrielle, a bratra Davida. V mládí se jeho katolická rodina přestěhovala do Greenwich Village. V divadle začal hrát již ve dvanácti letech. Kvůli studiu se později vrátil do Kalifornie.

Jeho herecká kariéra začala v newyorských divadlech, po studiu na univerzitě se stal spolu se svými spolužáky členem experimentální divadelní skupiny v Los Angeles. Nejdříve získával malé role ve filmech, prorazil postavou Ebbyho Calvina „Nukea“ LaLooshe ve filmu Durhamští Býci.

Přízeň kritiků a cenu za nejlepšího herce na Filmovém festivalu v Cannes mu přinesla role Roberta Altmana ve filmu Hráč. Spolu s Morganem Freemanem si zahrál ve filmu Vykoupení z věznice Shawshank, natočeném podle předlohy Stephena Kinga.

Napsal, produkoval a režíroval několik filmů se silným sociálním obsahem jako třeba kladně hodnocený Mrtvý muž přichází, kde se objevila Susan Sarandonová a Sean Penn. Za tento film získal Robbins nominaci na Oscara jako nejlepší režisér. Oscara ze nejlepší mužský herecký výkon ve vedlejší roli získal Robbins za film Tajemná řeka.

V roce 2006 režíroval divadelní adaptaci novely George Orwella 1984.

Spolu s herečkou Susan Sarandonovou, se kterou má vztah od roku 1988, má dva syny – Jacka Henryho (nar. 1989) a Milese Guthrieho (nar. 1992).