Narodil se 27. prosince 1920 v ulici Na bojišti do pražské rodiny hostinského, matka byla v domácnosti a zároveň kuchařka v jejich restauraci. Jiří měl starší sestru Zdenu a bratra Ladislava. Protože otec chtěl, aby se vyučil řádnému řemeslu, zvolil si po vzoru otce pohostinství - obor číšník. Na praxi sloužil v restauraci U Khůnů na Kladně a poté v hotelu Hubertus v Jílovišti. Poté se chvíli jako číšník živil. Přesto v 19 letech odešel proti vůli otce z domova, aby se mohl přidat k ochotnickému souboru na Mlynářce, pak k souboru Dé tvář a nakonec přešel k téměř profesionální scéně Divadla práce. Přitom pracoval v různých pomocných i dělnických profesích, např. v kamenolomu.

Během okupace studoval herectví na dramatickém oddělení Pražské konzervatoře (1941), v té době byl rovněž totálně nasazený v Jinonické Waltrovce jako skladník ve skladu tyčového železa.Od roku 1941 účinkoval po večerech v pražském kabaretním divadle Živé jeviště, pozdější divadlo Rokoko. V roce 1943 působil v divadle v Třebíči a poté byl angažován do Horáckého divadla. Tam již mladý herec získal řadu zkušeností s pestrou paletou rolí klasického repertoáru.

Během základní vojenské služby v letech 1946–1947 působil v Armádním uměleckém souboru (AUS), kde se setkal s Miroslavem Horníčkem. U armády se zdržel coby civilní zaměstnanec v Ústředním divadle československé armády. Tam si ho všiml režisér a divadelní autor E. F. Burian. Od roku 1947 byl členem jeho souboru divadla E. F. Buriana.

Sám Sovák o této spolupráci řekl: „Byl to on, kdo nejvíc poznamenal moje začátky. Při práci přesně odhadl, kdy je nejlepší mě nechat, ať se s rolí potrápím sám. Nenaléhal, nespěchal, nechal mě se stydět.“ Divadlo E. F. Buriana bylo realistické divadlo, které dávalo možnost hercům vytvořit mnoho klasických rolí světového repertoáru. Zde Sovák ztvárnil např. roli 70-letého Goriota, přestože mu v té době bylo 27 let. Dále zde ztvárnil Barona v Gorkého Na dně, Fabricia v Goldoniho Zamilovaných a další.

V roce 1947 se rovněž poprvé objevil před kamerou, ve filmu režiséra Josefa Macha Nikdo nic neví. V roce 1952 natočil svůj první výrazný filmový počin Plavecký mariáš, kde se setkal s Jaroslavem Marvanem, Jiřím Plachým a dalšími.

V letech 1952 až 1966 působil v Divadle na Vinohradech . Členem činohry pražského Národního divadla se stal 1.8.1966 a zůstal v agažmá až do svého odchodu do důchodu 31.3.1984. V Národním divadle vytvořil mnoho rolí, za zmínku stojí Josef Habršperk ve hře Ladislava Stroupežnického Naši furianti (1970), v roce 1975 role Antonia v Shakespearově Mnoho povyku pro nic nebo Otec Školastyk v Drdových Hrátkách s čertem (1981), kde byl v alternaci s Josefem Vinklářem.

Přestože Jiří Sovák začal svoji hereckou kariéru vážnými a dramatickými postavami, prvním výrazným filmem, kde uplatnil své komediální nadání, byl film z roku 1956 Kudy kam, kde vedle Jaroslava Marvana zahrál mladého manžela Ireny Kačírkové. Vyloženě komickou až groteskní roli ztvárnil ve filmu režiséra Josefa Macha Florenc 13.30. V roce 1958 natočil film Jindřicha Poláka Smrt v sedle a o rok později spolu s Rudolfem Hrušínským výtečně ztvárnili titulní role ve filmu Dařbuján a Pandrhola, který natočil Martin Frič podle povídky Jana Drdy.

V šedesátých letech se již plně rozběhla Sovákova herecká kariéra, a tak ve filmech Až přijde kocour, Spadla z měsíce, Mezi námi zloději, Konec agenta W4C prostřednictvím psa pana Foustky, Kdo chce zabít Jessii? dokázal předvést širokou paletu nejrůznějších komických postav, které jsou přesto v základu ukotvené v dramatické poloze. Z tohoto hlediska byla umělecky nejplodnější spolupráce a zároveň přátelství s režisérem Martinem Fričem. Natočili spolu filmy Dnes naposled (1958), Dařbuján a Pandrhola (1959), Král Králů (1963), Hvězda zvaná Pelyněk (1964), Přísně tajné premiéry (1967), Odsouzený z Pinktownu (1967), Nejlepší ženská mého života (1968).

Ani v následujícím období se štěstí na výrazné role Jiřímu Sovákovi nevyhnulo. Hned v roce 1969 byl obsazen do filmových komedií Zabil jsem Einsteina, pánové!, Světáci, v dalším roce natočil filmovou komedii Pane, vy jste vdova! nebo kriminální příběh podle skutečné události Na kolejích čeká vrah, kde ztvárnil kriminalistu Kalaše. Velmi výrazné je jeho herectví v komediích Václava Vorlíčka Což takhle dát si špenát (1977) a komedii Oldřicha Lipského Marečku, podejte mi pero! (spolu se synem Jiřím, 1976) nebo také v pohádkové komedii Ať žijí duchové! (1977).

V 90. letech se Jiří Sovák objevil v oscarovém filmu Jana Svěráka Kolja, jeho role strýce ale byla nakonec sestříhána na několik pouhých scén.

V televizi se od samého počátku vysílání v roce 1953 uplatnil rovněž jako průvodce zábavných či zábavně-publicistických pořadů (Dostaveníčka, pořady o Praze, Kabaret U dobré pohody, různé písničkové pořady). Herecky a mnohdy scenáristicky či drobnými úpravami scénáře spoluvytvářel televizní seriály F. L. Věk (1970), Byli jednou dva písaři (spolu s Jánem Roháčem a hereckým kolegou M. Horníčkem, 1972), Byl jednou jeden dům (1974), Chalupáři (1975), Arabela (1979), Létající Čestmír (1983) a další. Za zmínku stojí rovněž kultovní televizní film Bohouš (1968), televizní mikrokomedie Věra - nevěra (autor scénáře, spolu s Miroslavem Horníčkem, 1972) nebo televizní adaptace románu Kingsley Amise Egyptologové (1974).

V roce 1991 natočil televizní dramatizaci hry Milana Uhdeho Hodina obrany, kde byl obsazen do role bývalého lampasáka, který dává lekce civilní obrany. V druhé polovině 90. let se na televizních obrazovkách objevuje po boku Miroslava Horníčka v pořadu Hovory H z paláce K (1996), v dokumentárním životopisném cyklu GENUS (1995) nebo v zábavných pořadech Nikdo není dokonalý (1998), Věšák (1999).