Syn známé slovenské fotografky Zuzany Mináčové a scenáristy Jána Mináče se narodil v Bratislavě. Absolvoval Vysokou školu múzických umění v Bratislavě, obor filmová režie. Do profese vstoupil celovečerním dokumentárním filmem o Juraji Jakubiskovi Portrét režiséra, průvodcem kterého byl Federico Fellini. Později natočil středometrážní hraný film Čtyři rozhněvaní muži a ve spolupráci s producentem Fero Feničem několik profilů významných osobností pro cyklus filmových dokumentů GEN (Miroslav Holub, Adolf Born, Emil Zátopek, Jan Svoboda, Tomáš Baťa, Břetislav Pojar). Je autorem mnoha uměleckých dokumentárních a hudebních filmů (Hebrejská meditace, Musica yudaica, Casanova, Deň Slováka v Paríži, Nejasná cesta na konec světa a jiné). Úspěch dosáhl v roce 2002 dokumentem Síla lidskosti – Nicholas Winton, za kterou získal řadu ocenění, především cenu International Emmy Award za nejlepší dokumentární film roku 2002. Na stejné téma – záchrana židovských dětí během druhé světové války – navázal v hraném filmu Všichni moji blízcí. Pracuje také pro divadlo.

Matej Mináč je ženatý, má jednoho syna a od 90. let žije střídavě v Praze a v Bratislavě.