Své dětství strávil na Filipínách, ve Švédsku a Velké Británii.

Curtis se začal věnovat psaní komedií po absolutoriu university v Oxfordu v roce 1978. Již tehdy spolupracoval s Rowanen Atkinsonem — a v této spolupráci pokračoval i nadále. Jeho prvním televizním počinem bylo psaní tematických skečí a scének pro zábavný pořad BBC – Žádné zprávy v devět. Poté přistoupil ke psaní scénáře seriálu Černá zmije, situační komedie, která se odehrává ve čtyřech různých obdobích dějin Velké Británie, pokaždé s Rowanem Atkinsonem v hlavní roli a vždy s jiným legračním účesem. Spoluautorem posledních tří sérií byl Ben Elton.

Během těchto let Curtis, Atkinson a Elton zinscenovali dvě komediální revue v londýnském West Endu a Curtis také napsal svůj první celovečerní film, The Tall Guy. Film režíroval Mel Smith a v hlavních rolích se objevili Jeff Goldblum a Emma Thompsonová (její první role ve filmu). Film pochází z produkce společnosti Working Title, se kterou Curtis od té doby spolupracuje.

Zpět v televizi, Curtis a Atkinson začali pracovat na seriálu Mr. Bean. Ve tvorbě občasných dílů tohoto seriálu, kde je hlavní postavou málomluvný muž v černé kravatě, pokračovali několik dalších let. Mr. Bean se stal jedním z nejslavnějších komediálních seriálů. V roce 1993 Curtis napsal film Bernard and the Genie, vánoční fantastický příběh, kde hrál Lenny Henry a Alan Cumming. V prosinci roku 1993 Curtis získal ocenění Top Comedy Writer od Writers' Guild of Great Britain.

Curtisovým druhým celovečerním filmem byl snímek Čtyři svatby a jeden pohřeb, který režíroval Mike Newell, produkoval Kenworthy Duncan a v hlavních rolích se objevil Hugh Grant a Andie MacDowellová. Film šel do kin v březnu 1994 a získal francouzského Césara, cenu od Australian Film Institute a cenu BAFTA za nejlepší film. Film byl nominován na Oscara ® v kategoriích Nejlepší původní scénář a Nejlepší film.

Curtisův další film, Notting Hill, v hlavní roli s Julií Robertsovou a Grantem, vstoupil do distribuce v květnu 1999 a v tu dobu se stal nejvýdělečnějším britským filmem všech dob.

Curtis byl spoluautorem scénáře seriálu Mr. Bean v hlavní roli s Atkinsonem a spoluautorem scénáře slavné komedie Deník Bridget Jonesové, kde hrála Renée Zellweger, Colin Firth a Grant.

V roce 2003 Curtis napsal a režíroval Lásku nebeskou, příběh o mnoha různých formách lásky, který se odehrává v čase Vánoc. Ve filmu se objevilo 22 ústředních postav v podání takových herců, jako jsou Colin Firth, Hugh Grant, Bill Nighy, Emma Thompsonová, Liam Neeson, Martin Freeman a Billy Bob Thornton. Curtis byl také spoluautorem scénáře k filmu Bridget Jonesová: S rozumem v koncích.

V roce 2005 Curtis napsal pro HBO a BBC drama, které se odehrává během konání summitu G8, The Girl in the Café. Ve snímku ztvárnili hlavní postavy Bill Nighy a Kelly MacDonaldová. Drama získalo během udělování výročních cen Emmy 3 ocenění a cenu za Nejlepší televizní film. Mezitím se Curtis pustil do psaní The Vicar of Dibley, situační komedie o farářce v malé anglické vesnici. Seriály Černá zmije a The Vicar of Dibley byly zvoleny druhým a třetím nejpopulárnějším britským sitcomem všech dob.

V roce 2008 Curtis, společně s Anthony Minghellou napsali scénář k seriálu Vůně Kalahari. Ve stejném roce Curtis napsal a režíroval Piráty na vlnách, komedii o pirátském rádiovém vysílání zasazenou do roku 1966. Byl spoluautorem scénáře fimu Stevena Spielberga Válečný kůň z roku 2011.

V roce 2012 Curtis napsal pro BBC/HBO scénář televizního filmu Mary and Martha. Příběh pojednává o dvou matkách, kterým zemřou synové na malárii. Film režíroval Phillip Noyce s Hilary Swankovou a Brendou Blethynovou v hlavních rolích.

Curtis je spoluzakladatelem a místopředsedou charitativní organizace Comic Relief, která pořádá ve Velké Británii Red Nose Day a Sport Relief. Curtis se začal charitou zabývat poté, co v roce 1985 navštívil Etiopii zasaženou hladomorem. Od roku 1988 Curtis koprodukoval 14 živých vysílacích nocí organizace Comic Relief na stanici BBC. Organizace Comic Relief získala více jak 1 miliardu dolarů na charitativní projekty v Africe a ve Spojeném království.

Curtis byl zakládajícím členem sdružení Make Poverty History. Kromě sérií benefičních koncertů Live 8 se po celý rok 2004 a 2005 věnoval kampani, která usilovala o "trade justice" pomoc producentům v zemích třetího světa a o větší a lepší pomoc a odpouštění dluhů těm nejchudším zemím.

Curtis byl výkonným producentem kampaně Idol Gives Back v rámci pořadu American Idol v dubnu 2007. Během této televizní show se vybralo více jak 75 milionů dolarů na pomoc těm nejchudším dětem a mladistvím v USA a Africe. Idol Gives Back získal v roce 2007 ocenění Governors Award během slavnostního večera udělování cen Emmy.

Curtis je ženatý s Emmou Freudovou. Společně vychovávají dceru Scarlett a tři syny Jakea, Charlieho a Spikea. V roce 2000 byl Curtisovi udělen řád Řád britského impéria. V roce 2007 získal ocenění BAFTA fellowship.